نمایش برداری احاطه گری گراف ها

تابع گاما در سال ‎????‎ توسط آهارونی، برگر و مشولام معرفی شد. در حالت کلی محاسبه تابع گاما برای گراف های مختلف کار ساده ای نیست. کران های بالا و پایین برای این پارامتر داده شده است که با استفاده از آن ها مقدار دقیق تابع گاما برای درخت ها، مسیرها و دورها محاسبه شده است. هم چنین این تابع یک کران پایین برای همبندی همولوژیکی مجتمع مستقل گراف است و بنابراین مقداری برای مطالعه مسأله تطابق از طریق روش های توپولوژیکی است. این تابع ماهیتی مشابه با تابع تتا دارد. در این مفهوم با استفاده از بردارها مشابه با روش تابع تتای لواز که عدد استقلال گراف را نمایش می دهد عدد احاطه گر گراف به طور برداری نمایش داده می شود. تابع تتا که به عدد لواز معروف است در سال ‎1979‎ توسط لواز‎ معرفی شد که در تعریف این تابع از نمایش برداری متعامد استفاده شده است. نکته مهم و قابل توجه در مورد تابع تتا قابل محاسبه بودن آن در زمان چندجمله ای است. هم چنین از آن جا که این تابع بین دو پارامتر عدد رنگی گراف ها و عدد خوشه ای قرار می گیرد و محاسبه این دو پارامتر ‎$ m{-np}$‎ کامل است، برای گراف هایی مانند گراف های بی نقص که در آن ها این دو پارامتر با هم برابر است می توان گفت از طریق محاسبه تابع تتا این دو پارامتر در زمان چندجمله ای به دست می آید‎. هدف این پایان نامه آشنایی و مطالعه تابع گاما و کلیه نتایج به دست آمده در این رابطه است. بدین منظور ابتدا به تعریف دقیق تابع گاما پرداخته می شود. سپس برخی از پارامترهای مختلف احاطه گری که کران های خوبی برای تابع گاما به دست می دهند مورد مطالعه قرار می گیرند. در ادامه نوع دیگری از تابع گاما تحت عنوان تابع گامای ضعیف معرفی شده و مطالب گفته شده برای تابع گاما برای آن نیز بررسی می شود. در نهایت بررسی هایی بر روی بعد نمایش برداری و ارتباط آن با تابع گاما صورت می گیرد. در راستای شناسایی رفتار تابع گاما عمل های مختلفی نظیر جمع و ضرب گراف ها و نیز تکثیر رأس ها در گراف در نظر گرفته می شود و رفتار تابع گاما و تابع گامای ضعیف روی این اعمال مورد مطالعه قرار می گیرد. هم چنین نشان داده می شود حدس ویزینگ که در ارتباط با عدد احاطه گر است برای تابع گامای ضعیف برقرار است. کاربردهای ترکیبیاتی تابع گاما از اهمیت خاصی برخوردارند که از جمله آن ها می توان به کاربردی که این تابع در اثبات تعمیم قضیه هال برای ابرگراف ها دارد و نیز اثبات حالت کسری حدس رایزر اشاره کرد.